Question

18.如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为.

（I）证明：；

（II）求的长，并求点到平面的距离.

Answer 1

（I）证明：连结CD.

∵三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，

∴CC₁⊥平面ABC，

∴CD为C₁D在平面ABC内的射影.

∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点，

∴AB⊥CD，

∴AB⊥C₁D，

∵A₁B₁∥AB，

∴A₁B₁⊥C₁D.                                                                                   

（II）解法一：过A点作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF.

∵D、E分别为AB、BC的中点，

∴DE∥AC，

又∵AF∥CE，CE⊥AC，

∴AF⊥DE.

∵MA⊥平面ABC.

∴AF为MF在平面ABC内的射影,

∴MF⊥DE,

∴∠MFA为二面角M—DE—A的平面角，∠MFA=30°.

在Rt△MAF中，AF=BC=，∠MFA=30°，

∴AM=.                                                                            

作AG⊥MF，垂足为G.

∵MF⊥DE,AF⊥DE,

∴DE⊥平面AMF，

∴平面MDE⊥平面AMF，

∴AG⊥平面MDE.

在Rt△GAF中, ∠GFA=30°,AF=,

∴AG=,即A到平面MDE的距离为.

∵CA∥DE, ∴CA∥平面MDE.

∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等,为.             

解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF，

∵D、E分别为AB、CB的中点，

∴DE∥AC，

又∵AF∥CE，CE⊥AC，

∴AF⊥DE.

∵MA⊥平面ABC,

∴AF为MF在平面ABC内的射影,

∴MF⊥DE,

∴∠MFA为二面角M—DE—A的平面角，∠MFA=30°.

在Rt△MAF中，AF=，∠MFA=30°，

∴AM=a.                                                                                    

设C到平面MDE的距离为h.

∵,

∴

S_△CDE=

S_△MDE=,

∴

∴h=,即C到平面MDE的距离为.