Question

求使不等式（

1

a

）^x2-8＞a^-2x成立的x的集合（其中a＞0且a≠1）．

Answer 1

分析：将（

1

a

）^x2-8＞a^-2x转化为a8-x2＞a^-2x，对a分类讨论，即可求得x的取值范围．

解答：解：∵（

1

a

）^x2-8＞a^-2x，
∴a8-x2＞a^-2x，
当0＜a＜1时，8-x²＜-2x，
解得：x＜-2或x＞4；
当a＞1时，8-x²＞-2x，
解得：-2＜x＜4．
∴当0＜a＜1时，使不等式（

1

a

）^x2-8＞a^-2x成立的x的集合为{x|x＜-2或x＞4}；
当a＞1时，使不等式（

1

a

）^x2-8＞a^-2x成立的x的集合为{x|-2＜x＜4}．

点评：本题考查指数函数的单调性，考查分类讨论思想与方程思想，考查分析与运算能力，属于中档题．