Question

10．设函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间$[{0，\;\frac{π}{6}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）在区间$[{0，\;\frac{π}{6}}]$上的最大值和最小值．

解答 解：（1）由于函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x=1+sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2，
所以函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由$0≤x≤\frac{π}{6}$得：$\frac{π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{7π}{12}$，
当$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$即x=0时，f（x）_min=3；
当$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{8}$时，$f{（x）_{max}}=\sqrt{2}+2$．

点评 本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．