Question

函数f(x)=x-cosx+

3

sinx的图象上一点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围为

[0，arctan3]∪[

3

4

π，π)

．

Answer 1

分析：由f′（x）=1+2sin（x+

π

3

）∈[-1，3]，即tanθ∈[-1，3]，而0≤θ＜π，从而可求θ的取值范围．

解答：解：∵f(x)=x-cosx+

3

sinx，
∴f′（x）=1+2sin（x+

π

3

）∈[-1，3]，
∴-1≤tanθ≤3，又0≤θ＜π，
∴0≤θ≤arctan3或

3π

4

≤θ＜π．
故答案为：[0，arctan3]∪[

3

4

π，π)．

点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，关键在于通过导数解决问题，难点在于对切线倾斜角的理解与应用，属于中档题．