Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，且PA⊥平面ABCD，PD与底面成30°角．

(Ⅰ)求证：平面APB⊥平面CPB；(Ⅱ)求二面角A－PC－B的大小；

(Ⅲ)若AE⊥PD，E为垂足，求异面直线AE与CD所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)证明：∵，∴．　　　　　1分 　　∵底面，∴．　　　　　2分 　　又∵，∴平面．　　　　3分 　　∵平面，∴平面⊥平面．　　　　4分 　　(Ⅱ) 解：作，垂足为． 　　∵平面⊥平面，平面平面， 　　∴平面． 　　作，垂足为，连结，由三垂线定理，得， 　　∴是二面角的平面角．　　　　　6分 　　∵与底面成角，∴． 　　∴． 　　∴． 　　在中，，　　　　　7分 　　在中，，　　　　　8分 　　∴在中，． 　　因此，二面角的平面角为．　　　　9分 　　(Ⅲ)设、分别为、的中点，连结、、，则． 　　∵，且，∴四边形为平行四边形，∴． 　　∴或它的补角就是异面直线与所成角．　　　　11分 　　∵，∴平面． 　　又∵，∴． 　　∵，∴． 　　∵， 　　，12分 　　∴在中，．　　　　13分 　　因此，异面直线与所成角为．　　　　　14分