Question

已知函数f（x）=

1-x

ax

+lnx
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）设a＞1，b＞0，求证：

1

a+b

＜ln

a+b

b

＜

a+b

b

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，则有f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，进而可转化为函数的最值问题解决；
（Ⅱ）根据f（x）在[1，+∞）上为增函数，可得f（

a+b

b

）＞f（1），从而可证明

1

a+b

＜ln

a+b

b

；构造函数g（x）=x-lnx（x＞1），易判g（x）在（1，+∞）上是增函数，可得x＞1时g（x）＞g（1），由此可证明ln

a+b

b

＜

a+b

b

．

解答：（Ⅰ）解：f′(x)=

ax-1

ax2

，a＞0，
因为函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，所以f′(x)=

ax-1

ax2

≥0对x∈[1，+∞）恒成立，
即：ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，亦即a≥

1

x

对x∈[1，+∞）恒成立，
a≥(

1

x

)max=1，即a≥1．
故正实数a的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅱ）证明：一方面，由（1）知，f(x)=

1-x

ax

+lnx在[1，+∞）上是增函数，
所以f(

a+b

b

)＞f(1)=0，即

1- a+b b

a• a+b b

+ln

a+b

b

＞0，即ln

a+b

b

＞

1

a+b

．
另一方面，设函数g（x）=x-lnx（x＞1），g′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

＞0（x＞1），
所以g（x）在（1，+∞）上是增函数，
又g（1）=1＞0，当x＞1时，g（x）＞g（1）＞0，所以x＞lnx，则ln

a+b

b

＜

a+b

b

．
综上，

1

a+b

＜ln

a+b

b

＜

a+b

b

．

点评：本题考查导数与函数单调性的关系以及应用导数证明不等式问题．f′（x）≥0（不恒为0）是可导函数f（x）在某区间上递增的充要条件．