Question

如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上。
（1）设AD＝x（x≥0），ED＝y，求用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里 ？
（3 ）如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应在哪里？

Answer 1

解：（1）在△ADE中，y²＝x²＋AE²－2xAEcos60°y²＝x²＋AE²－xAE①
又S_△ADE＝， S_△ABC＝
a²＝xAEsin60°xAE＝2②
②代入①得y²＝x²＋－2（y＞0）
 ∴y＝（1≤x≤2）
（2）如果DE是水管y＝≥
当且仅当x²＝，即x＝时“＝”成立，
故DE∥BC，且DE＝
（3）如果DE是参观线路，记f（x）＝x²＋，
可知函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，
故f（x） _max＝f（1）＝f（2）＝5
∴y _max＝
即DE为AB中线或AC中线时，DE最长