Question

在等差数列{a_n}中，a₁=1，数列{b_n}满足bn=(

1

2

)an，且b1b2b3=

1

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（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求证：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜2．

Answer 1

分析：（1）设{a_n}的公差为d，表示出b1，b2，b3，然后根据b1b2b3=

1

64

建立关于d的方程，解之即可求出所求；
（2）根据{a_nb_n}的通项公式可知利用错位相消的方法进行求和，从而证得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜2．

解答：解：（1）设{a_n}的公差为d，a1=1，b1=

1

2

，b2=(

1

2

)1+d，b3=(

1

2

)1+2d
又b1b2b3=

1

64

，解得：d=1
∴a_n=1+（n-1）•1=n
（2）由（1）得bn=(

1

2

)n
设T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1•

1

2

+2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n

1

2

Tn=1•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1
作差整理得：Tn=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

∴T_n＜2

点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的综合，以及利用错位相消法求数列的和，同时考查了计算能力，属于中档题．