Question

已知数列{a_n}中，a₁=

5

6

且对任意非零自然数n都有a_n+1=

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹．数列{b_n}对任意非零自然数n都有b_n=a_n+1-

1

2

a_n．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

（1）证明：b_n=a_n+1-

1

2

a_n=[

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹]-

1

2

a_n=（

1

2

）ⁿ⁺¹-

1

6

a_n，b_n+1=（

1

2

）ⁿ⁺²-

1

6

a_n+1=（

1

2

）ⁿ⁺²-

1

6

[

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹]=

1

2

•（

1

2

）ⁿ⁺¹-

1

18

a_n-

1

6

•（

1

2

）ⁿ⁺¹=

1

3

•（

1

2

）ⁿ⁺¹-

1

18

a_n=

1

3

•[（

1

2

）ⁿ⁺¹-

1

6

a_n]，
∴

bn+1

bn

=

1

3

（n=1，2，3，…）．
∴{b_n}是公比为

1

3

的等比数列．
（2）∵b₁=（

1

2

）²-

1

6

a₁=

1

4

-

1

6

•

5

6

=

1

9

，
∴b_n=

1

9

•（

1

3

）^n-1=（

1

3

）ⁿ⁺¹．
由b_n=（

1

2

）ⁿ⁺¹-

1

6

a_n，得（

1

3

）ⁿ⁺¹=（

1

2

）ⁿ⁺¹-

1

6

a_n，解得a_n=6[（

1

2

）ⁿ⁺¹-（

1

3

）ⁿ⁺¹]．