Question

已知函数f（x）=2ax³+bx²-6x在x=±1处取得极值
（1）讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（2）试求函数f（x）在x=-2处的切线方程；
（3）试求函数f（x）在区间[-3，2]上的最值．

Answer 1

解：（1）f'（x）=6ax²+2bx-6，
在x=1处取得极值，则f′（1）=6a+2b-6=0；
在x=-1处取得极值，则f′（-1）=6a-2b-6=0；
解得a=1；b=0；
∴f（x）=2x³-6x；
f′（x）=6x²-6，
由f′（x）=6x²-6=0，得x=±1．
列表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴f（1）是极小值；f（-1）是极大值．
（2）f′（-2）=6×2²-6=18；
在x=-2处的切线斜率为18；
而f（-2）=2x3-6x=-4；
∴切线方程y=18x+32；
（3）f（x）=2x³-6x；
f′（x）=6x²-6；
使f′（x）=6x²-6=0，得x=±1，
已经知道了f（1）=-4是极小值，f（-1）=4是极大值，
下面考察区间端点：
f（2）=2x³-6x=4；
f（-3）=2x3-6x=-36
∴最大值是f（-1）=f（2）=4；
最小值是f（-3）=-36．
分析：（1）f'（x）=6ax²+2bx-6，在x=1处取得极值，则f′（1）=6a+2b-6=0； 在x=-1处取得极值，则f′（-1）=6a-2b-6=0； 解得a=1；b=0；所以f（x）=2x³-6x； 由此能导出f（1）是极小值；f（-1）是极大值．
（2）f′（-2）=6×2²-6=18；在x=-2处的切线斜率为18．由此能求出切线方程．
（3）f（x）=2x³-6x；，f′（x）=6x²-6；使f′（x）=6x²-6=0，得x=±1，由此能求出函数f（x）在区间[-3，2]上的最值．
点评：本题考查导数在最值中的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．