Question

已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R．
（Ⅰ） 求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ） 求函数f（x）的最小值和最大值，及取得最值时对应的x的集合．
（Ⅲ） 求函数的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数间的关系式可将f（x）化简为f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），可求得函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由正弦函数的性质可求得f（x）的最小值和最大值，由2x-

π

4

=2kπ-

π

2

可求得f（x）取最大值时对应的x的集合，同理可求f（x）取最小值时对应的x的集合；
（Ⅲ）利用正弦函数的单调性即可求得函数的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx-2cos²x+1
=sin2x-cos2x-1+1
=

2

sin（2x-

π

4

）
∴T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）最小值为-

2

，
当2x-

π

4

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

π

8

（k∈Z）时，f（x）取得最小值-

2

；
∴此时x的取值集合为：{x|x=kπ-

π

8

，k∈Z}；
最大值为

2

，
当2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

3π

8

（k∈Z）时，f（x）取得最大值

2

；
∴此时x的取值集合为：{x|x=kπ+

3π

8

，k∈Z}；
（Ⅲ）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
得：kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z
同理可求，f（x）的单调递减区间为[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，k∈Z．

点评：本题考查三角函数间的关系式，考查正弦函数的性质，着重考查正弦函数的周期性、单调性、最值，属于中档题．