Question

已知函数f(x)=2

3

sin2x+4cos2x-3
（Ⅰ）将函数化为f（x）=Msin（2x+φ）+h的形式（其中M＞0，0＜φ＜

π

2

）；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，且对f（x）定义域中任意的x都有f（x）≤f（A），若a=2，求

AB

•

AC

的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将f（x）解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数即可；
（Ⅱ）由正弦函数的值域求出f（x）的值域，确定出f（x）的最大值，由f（x）≤f（A）恒成立，得到f（A）等于f（x）的最大值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，确定出sinA与cosA的值，再由a的值，利用余弦定理列出关于b与c的关系式，利用基本不等式求出bc的最大值，利用平面向量的数量积表示出所求的式子，将cosA及bc的最大值代入即可求出所求式子的最大值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2

3

sin2x+4×

1+cos2x

2

-3
=2

3

sin2x+2cos2x-1
=4sin（2x+

π

6

）-1；
（Ⅱ）∵f（x）≤f（A）恒成立，且-5≤f（x）≤3，
∴f（A）=4sin（2A+

π

6

）-1=[f（x）]_max=3，即sin（2A+

π

6

）=1，
∵A∈（0，π），∴2A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

6

，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得4=b²+c²-

3

bc，
∵b²+c²≥2bc，∴bc≤8+4

3

，当且仅当b=c时取等号，
∴

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|•cosA=

3

2

bc≤

3

2

（8+4

3

）=6+4

3

，
则（

AB

•

AC

）_max=6+4

3

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，恒成立问题，余弦定理，基本不等式，平面向量的数量积运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．