Question

已知双曲线的中心在原点,F₁、F₂为左、右焦点,且在坐标轴上,离心率为,又双曲线过点(4,-).

(1)求此双曲线的方程;

(2)若点M(3,m)在此双曲线上,证明F₁M⊥F₂M;

(3)求△F₁MF₂的面积.

Answer 1

(1)解:=e²=1,∴a²=b².

设双曲线方程为x²-y²=λ,

把(4,-10)代入可得λ=6.

于是双曲线方程为=1.

(2)证明:∵M在双曲线上,故有9-m²=6,

解得m=±.

∴M(3,)或M(3,-),F₁(-2,0),F₂(2,0).

当M(3,)时,·==-1,∴F₁M⊥F₂M.

同理,当M(3,- )时,F₁M⊥F₂M.

综上,有F₁M⊥F₂M.

(3)解:S=|F₁F₂|·|m|=·4·=6.