Question

已知实数x、y满足（x-2）²+（y-1）²≤5且x≥0，y≥0．
（1）求（x+1）²+（y-1）²的取值范围．
（2）若z=2x+y，求z得最大值．

Answer 1

分析：画出已知条件表示的区域，
（1）通过（x+1）²+（y-1）²的几何意义求解取值范围即可．
（2）通过平移直线2x+y=0，与图形表示的圆相切时，求出z得最大值．

解答：（本题13分）
解：）（x-2）²+（y-1）²=5的圆心坐标D（2，1），半径为

5

，实数x、y满足（x-2）²+（y-1）²≤5且x≥0，
y≥0．
表示的区域如图阴影部分．
（1）（x+1）²+（y-1）²的几何意义是阴影区域内的点到C（-1，1）距离的平方，连结CD交y轴于B，延长CD交圆于A，
因为CD的纵坐标相同，所以CB⊥y轴，
由图形可知最小值为CB²，最大值为：AC²．
BC²=1，AC²=（CD+AD）²=（3+

5

）²=9+6

5

+5=14+6

5

（x+1）²+（y-1）²的取值范围：[1，14+6

5

]．
（2）（x-2）²+（y-1）²=5的圆心坐标（2，1），半径为

5

，
圆心到z=2x+y的距离≤

5

，
可得

|2×2+1×1-z|

22+1

≤

5

，即|5-z|≤5，解得z=0或z=10，
所以z_max=10；

点评：本题考查直线与圆的位置关系的应用，线性规划的应用，考查计算能力以及转化思想．