Question

7．各项均为正数的数列{a_n}中，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，有2S_n=2a_n²+a_n-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=2ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）对任意n∈N^*，有2S_n=2a_n²+a_n-1．令n=1，可得：$2{a}_{1}=2{a}_{1}^{2}+{a}_{1}$-1，a₁＞0，解得a₁．n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1），化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-$\frac{1}{2}$）=0．数列{a_n}的各项均为正数，可得a_n-a_n-1=$\frac{1}{2}$．利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）b_n=2ⁿ•a_n=（n+1）•2^n-1，再利用“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）对任意n∈N^*，有2S_n=2a_n²+a_n-1．令n=1，可得：$2{a}_{1}=2{a}_{1}^{2}+{a}_{1}$-1，a₁＞0，解得a₁=1．
n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n²+a_n-1-$（2{a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}-1）$，化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-$\frac{1}{2}$）=0．
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n-a_n-1-$\frac{1}{2}$=0，即a_n-a_n-1=$\frac{1}{2}$．
∴数列{a_n}为等差数列，公差为$\frac{1}{2}$，首项为1．
∴a_n=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$．
（II）b_n=2ⁿ•a_n=（n+1）•2^n-1，
∴T_n=2×1+3×2+4×2²+…+（n+1）×2^n-1，
2T_n=2×2+3×2²+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ，
两式相减可得：-T_n=2+2+2²+…+2^n-1-（n+1）×2ⁿ=1+$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-（n+1）×2ⁿ=n×2ⁿ，
∴T_n=n×2ⁿ．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．