Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
（1）求证：数列{

an

2n

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由a_n=2a_n-1+2ⁿ，两边同时除以2ⁿ，即可证明
（2）由（1）可求

an

2n

，进而可求a_n

解答：证明：（1）∵a_n=2a_n-1+2ⁿ，两边同时除以2ⁿ，可得

an

2n

=

an-1

2n-1

+1
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，又

a1

21

=

1

2

∴数列{

an

2n

}是以

1

2

为首项，以1为公差的等差数列；
（2）解：由（1）可知

an

2n

=

1

2

+n-1=n-

1

2

∴an=(n-

1

2

)•2n

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解数列的通项公式，解题的关键是在已知递推公式的两边同时除以2ⁿ．