Question

如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，

BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°,AD=,EF=2.

(1)求证:AE∥平面DCF;

(2)当AB的长为何值时,二面角A—EF—C的大小为60°?

Answer 1

(1)证明略 (2) 当AB为时，二面角A—EF—C的大小为60°

解析:

方法一  （1）  过点E作EG⊥CF交CF于G，

连接DG.可得四边形BCGE为矩形，

又四边形ABCD为矩形，

所以AD   EG，从而四边形ADGE为平行四边形，

故AE∥DG.

因为AE平面DCF，DG平面DCF，

所以AE∥平面DCF.

（2）  过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH.

由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，

得AB⊥平面BEFC，

从而AH⊥EF，所以∠AHB为二面角A—EF—C的平面角.

在Rt△EFG中，因为EG=AD=，EF=2，

所以∠CFE=60°,FG=1,

又因为CE⊥EF,所以CF=4,

从而BE=CG=3.

于是BH=BE·sin∠BEH=.

因为AB=BH·tan∠AHB=×=，

所以当AB为时，二面角A—EF—C的大小为60°.

方法二  如图所示,以点C为坐标原点,以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C—xyz.

设AB=a，BE=b，CF=c，

则C（0，0，0），A（，0，a），

B（，0，0），E（，b，0），F（0，c，0）.

（1）=（0，b，-a），=（，0，0），=（0，b，0），

所以·=0，·=0，从而CB⊥AE，CB⊥BE.

AE∩BE=E，所以CB⊥平面ABE.

因为CB⊥平面DCF，

所以平面ABE∥平面DCF，AE平面ABE.

故AE∥平面DCF.

（2）因为=（-，c-b，0），=（，b，0）.

·=0，||=2，

所以  解得

所以E（，3，0），F（0，4，0）.

设n=(1,y,z)与平面AEF垂直，

则n·=0，n·=0，解得n=（1,,）.

又因为BA⊥平面BEFC，=（0，0，a），

所以|cos〈n, 〉|=

解得a=.

所以当AB为时，二面角A—EF—C的大小为60°.