Question

求函数f(x)=5

3

cos2x+

3

sin2x-4sinxcosx(

π

4

≤x≤

7π

24

）的最小值，并求其单调区间．

Answer 1

分析：利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为3

3

-4sin(2x-

π

3

)，由x的范围可得 sin(2x-

π

3

)∈[

1

2

，

2

2

]，由此求得函数f（x）取最小值为3

3

-2

2

．再由y=sin(2x-

π

3

)在[

π

4

，

7π

24

]上递增，可得函数f（x）的减区间．

解答：解：f(x)=5

3

•

1+cos2x

2

+

3

•

1-cos2x

2

-2sin2x=3

3

-2sin2x+2

3

cos2x
=3

3

-4sin(2x-

π

3

)．…（4分）
∵

π

4

≤x≤

7π

24

，∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

π

4

，∴sin(2x-

π

3

)∈[

1

2

，

2

2

]．…（6分）
当2x-

π

3

=

π

4

时，即 x=

7π

24

时，函数f（x）取最小值为3

3

-2

2

．…（8分）
∵y=sin(2x-

π

3

)在[

π

4

，

7π

24

]上递增，…（10分）
∴f(x)在[

π

4

，

7π

24

]上是减函数，故函数f（x）的减区间为[

π

4

，

7π

24

]． …（12分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性和值域，属于中档题．