Question

已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x²＋x)＝f(x)－x²＋x．

(Ⅰ)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；

(Ⅱ)设有且仅有一个实数x₀，使得f(x₀)＝x₀，求函数f(x)的解析表达式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x， 　　所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2． 　　又由f(2)＝3，得f(3－22＋2)－3－22＋2，即f(1)＝1． 　　若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a． 　　(Ⅱ)因为对任意x∈R，有f(f(x))－x2＋x)＝f(x)－x2＋x． 　　又因为有且只有一个实数x0，使得f(x0)－x0．所以对任意xεR，有f(x)－x2＋x＝x0． 　　在上式中令x＝x0，有f(x0)－x＋x0＝x0， 　　又因为f(x0)－x0，所以x0－x＝0，故x0＝0或x0＝1． 　　若x0＝0，则f(x)－x2＋x＝0，即f(x)＝x2－x． 　　但方程x2－x＝x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0． 　　若x2＝1，则有f(x)－x2＋x＝1，即f(x)＝x2－x＋1．易验证该函数满足题设条件． 　　综上，所求函数为f(x)＝x2－x＋1(xR)