Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）+1=f（x）+f（y）（x，y∈R），f（1）=0，且当x＞1时f（x）＜0．
（1）证明：f（x）在R上是减函数；
（2）若，求实数m的范围．

Answer 1

（1）证明：取y=1，则f（x+1）+1=f（x）+f（1）=f（x）．设x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，x₁-x₂+1＞1，
因为当x＞1时f（x）＜0，所以f（x₁-x₂+1）＜0．
f（x₁）=f（x₁+1）+1=f[x₂+（x₁-x₂+1）]+1
=f（x₂）+f（x₁-x₂+1）-1+1=f（x₂）+f（x₁-x₂+1）．
因为f（x₁-x₂+1）＜0，所以f（x₂）＜f（x₁）．
所以函数f（x）在R上是减函数；
（2）解：取x=y=0，得f（0）+1=f（0）+f（0），
所以f（0）=1，
由，得．
所以，．
因为f（x）为实数集上的减函数，且f（0）=1
所以．
则m≤0．
所以实数m的范围是（-∞，0]．
分析：（1）通过取y=1，由已知的等式得到f（x）=f（x+1）+1，设x₁，x₂∈R，规定大小后通过转化得到：若x₁＞x₂，则所以f（x₁-x₂+1）＜0，然后得到f（x₁）=f（x₁+1）+1=f[x₂+（x₁-x₂+1）]+1，展开后分析即可得到答案；
（2）运用f（x）=f（x+1）+1把的左边展开，然后求出f（0）=1，借助于函数是减函数脱去“f”后求解不等式及可．
点评：本题考查了抽象函数及其应用，考查了特值法判断函数的单调性，考查了学生灵活处理和解决问题的能力，训练了利用函数单调性求解不等式，是中档题．