Question

如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB.

(1)求证：AB⊥平面PCB；

(2)求异面直线AP与BC所成角的大小；

(3)求二面角C-PA-B的大小.

Answer 1

解法一：(1)∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，∴PC⊥AB.                                             

∵CD⊥平面PAB，AC平面PAB，∴CD⊥AB.                                                             ?

又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB.                                                                                  ?

(2)过点A作AF∥BC，且AF=BC，连结PF、CF,则∠PAF为异面直线PA与BC所成的角.

?

由(1)可得AB⊥BC，∴CF⊥AF.由三垂线定理，得PF⊥AF.则AF=CF=，PF==.?

在RT△PFA中，tan∠PAF=，

∴异面直线PA与BC所成的角为.                                                                       ?

(3)取AP的中点E，连结CE、DE.∵PC=AC=2,∴CE⊥PA,CE=.?

∵CD⊥平面PAB,由三垂线定理的逆定理得DE⊥PA,

∴∠CED为二面角CPAB的平面角.                                                                        ?

由(1)AB⊥平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=.?

在RT△PCB中，PB==，CD=.?

在RT△CDE中，sin∠CED=.?

∴二面角C-PA-B的大小为arcsin.                                                                    ?

解法二：(1)同解法一.(2)由(1)AB⊥平面PCB，∵PC=AC=2,又∵AB=BC,可求得BC=.?

以B为原点，建立如图所示的坐标系,

则A(0,,0),B(0,0,0),C(,0,0),P(,0,2),=(,-,),BC=

(,0,0).                                                                                                               ?

∴·=×+0+0=2.?

cos〈,〉=.?

∴异面直线AP与BC所成的角为.                                                                             ?

（3）设平面PAB的法向量为m=(x,y,z), =(0,-,0),则

即解得?

令z=-1,得m=(2,0,-1).

设平面PAC的法向量为n=(x′,y′,z′),=(0,0,-2), =(,-,0).?

则即解得

令x′=1,得n=(1,1,0).                                                                                  ?

cos〈m,n〉=,?

∴二面角C-PA-B的大小为arccos.                                                             ?