Question

已知函数f（x）=2^x-4^x．
（1）求f（x）在[-1，1]上的值域；
（2）解不等式f（x）＞16-9×2^x；
（3）若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用换元法求出2x的范围，化为顶点式，然后求f（x）在[-1，1]上的值域；
（2）利用不等式f（x）＞16-9×2^x，转化为二次不等式，求解即可．
（3）若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解，令t=2^x，转化为求y=t-t²在t∈[

1

2

，2]上的值域即可．

解答：解：（1）设t=2^x，∵x∈[-1，1]，∴t∈[

1

2

，2]…（2分）
f(x)=t-t2=-(t-

1

2

)2+

1

4

，
当t=

1

2

时，f(x)max=

1

4

，t=2时，f(x)min=-2．…（4分）
∴f（x）的值域为[-2，

1

4

]．…（5分）
（2）设t=2^x，
由f（x）＞16-9×2^x得：t-t²＞16-9t，
即t²-10t+16＜0．…（7分）
∴2＜t＜8，即2＜2^x＜8，∴1＜x＜3
∴不等式的解集为（1，3）．…（10分）
（3）令t=2^x，因为x∈[-1，1]⇒t∈[

1

2

，2]，
所以关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解转化为y=t-t²=m在t∈[

1

2

，2]上有解
又因为y=t-t²=-（t-

1

2

）²+

1

4

在t∈[

1

2

，2]上为减函数，
所以y_max=

1

4

，y_min=-2，即-2≤m≤

1

4

．
故m的取值范围-2≤m≤

1

4

．
∴m的取值范围为[-2，

1

4

]．…（14分）

点评：本题是对二次函数知识的综合考查．既有二次不等式的解法，又有二次函数在固定区间上求值域问题，是一道好题．