Question

若关于x的不等式ax²-|x+1|+2a＜0的解集为空集，则实数a的取值范围为______．

Answer 1

当a=0时，-|x+1|＜0的解集不是空集；  这种情况舍去．
又因为开口向下的二次函数图象是向下无限延伸的，
所以ax²-|x+1|+2a＜0的解集不可能为空集．这种情况舍去．
当a＞0，
当x≤-1时，不等式ax²-|x+1|+2a＜0为ax²+x+2a+1＜0
对称轴为x=

1

2a

＞0，
∵关于x的不等式ax²-|x+1|+2a＜0的解集为空集，
∴f（x）_min=f（-1）≥0?a≥0，
∴a≥0
当x＞-1时，不等式ax²-|x+1|+2a＜0为ax²-x+2a-1＜0，
对称轴为x=

1

2a

＞0，
∵关于x的不等式ax²-|x+1|+2a＜0的解集为空集
∴f（x）_min=f（

1

2a

）≥0?8a²-4a-1≥0?a≥

3 +1

4

，a≤

1- 3

4

．
∴a≥

1+ 3

4

综上得：a≥

1+ 3

4

故答案为：[

1+ 3

4

，+∞）．