Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n（n+2），数列{b_n}的前n项和为T_n，且有．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n，b_n；
（2）设，试判断数列{c_n}的单调性，并证明你的结论．
（3）在（2）的前提下，设M_n是数列{c_n}的前n项和，证明：．

Answer 1

（1）解：∵S_n=n（n+2），
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1
当n=1时，a₁=S₁=3满足上式
∴a_n=2n+1
∵
∴T_n+1-T_n=2b_n-1
∴b_n+1=2b_n-1
∴b_n+1-1=2（b_n-1）
∴{b_n-1}是公比为2的等比数列
∴
∴
（2）解：，数列{c_n}为递减数列
证明：∵
=
∴数列{c_n}为递减数列
（3）证明：∵
∴M_n=c₁+c₂+…+c_n≥
令①
∴②
①-②：=
∴
∴=
∴
分析：（1）根据当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可求数列{a_n}的通项a_n，根据，可得b_n+1=2b_n-1，从而{b_n-1}是公比为2的等比数列，故可求数列{b_n}的通项b_n；
（2），数列{c_n}为递减数列，再用作差法证明即可；
（3）根据，可得M_n=c₁+c₂+…+c_n≥，利用错位相消法，求出右边的和，即可证得结论．
点评：本题以数列的和为载体，考查数列的通项，考查数列的单调性，考查不等式的证明，同时考查错位相减法求数列的和，综合性强．