Question

我们知道，在ΔABC中，若c²＝a²＋b²，则ΔABC是直角三角形．现在请你研究：若cⁿ＝aⁿ＋bⁿ(n＞2)，问ΔABC为何种三角形？为什么？

Answer 1

答案：
解析：

解析：令n＝3，a＝1，b＝1，则c＝≈1.26，画以1，1，1.26为边的三角形草图，观察易知是锐角三角形． 　　上述用特值试验的结论具有一般性，证明如下： 　　∵cn＝an＋bn(n＞2)，∴c＞a，c＞b， 　　由c是△ABC的最大边，所以要证△ABC是锐角三角形，只需证角C为锐角，即证cosC＞0就行了． 　　∵cosC＝， 　　∴要证cosC＞0，只要证a2＋b2＞c2　　① 　　注意到条件：an＋bn＝cn， 　　于是将①等价变形为：(a2＋b2)cn－2＞cn．② 　　∵c＞a，c＞b，n＞2， 　　∴cn－2＞an－2，cn－2＞bn－2， 　　即cn－2－an－2＞0，cn－2－bn－2＞0， 　　从而(a2＋b2)cn－2－cn＝(a2＋b2)cn－2－an－bn 　　＝a2(cn－2－an－2)＋b2(cn－2－bn－2)＞0， 　　这说明②式成立，从而①式也成立． 　　故cosC＞0，C是锐角，△ABC为锐角三角形．