Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2（n为正整数）．
（1）令b_n=2ⁿa_n，求证数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）令c_n=

n+1

n

a_n，若T_n=c₁+c₂+…+c_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）根据数列{a_n}的前n项和S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2（n为正整数）利用an=

s1                 n=1 sn-sn-1   n≥2

得出2nan=2n-1an-1+1再利用b_n=2ⁿa_n，可得当n≥2时b_n-b_n-1=1即得出数列{b_n}是等差数列，进而可求出b_n然后求出a_n．
（2）由（1）可求出cn=(n+1)(

1

2

)n再结合其表达式的特征知可用错位相减法求T_n．

解答：解：（1）在S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2中令n=1可得s₁=-a₁-1+2=a₁即a₁=

1

2

当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1+(

1

2

)n-2
∴2a_n=a_n-1+(

1

2

)n-2即2nan=2n-1an-1+1
∵b_n=2ⁿa_n，
∴b_n-b_n-1=1即当n≥2时b_n-b_n-1=1
又∵b₁=2a₁=1
∴数列{b_n}是首项和公差均为1的等差数列．
∴bn=1+(n-1)×1=n=2nan
∴an=

n

2n

（2）由（1）得cn=(n+1)(

1

2

)n，
∴Tn=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+（n+1）(

1

2

)n  ①

1

2

Tn=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+4×(

1

2

)4+…+（n+1）(

1

2

)n+1   ②
由①-②得

1

2

Tn=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-（n+1）(

1

2

)n+1=

3

2

-（n+3）（

1

2

）ⁿ⁺¹
∴T_n=3-（n+3）（

1

2

）ⁿ⁺¹

点评：本题主要考查了数列通项公式的求解和数列的求和，属常考题，较难．解题的关键是公式an=

s1                 n=1 sn-sn-1   n≥2

以及错位相减法求和的应用!