Question

P、Q、M、N四点都在椭圆x²+=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知与共线, 与共线,且·=0.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.

Answer 1

分析：由已知得⊥,故可设出直线PF的方程,求出弦长|PQ|.同理可求弦长|MN|,然后建立起目标函数即可求出最大、最小值.

解：如图,由条件知MN和PQ 是椭圆的两条弦,相交于焦点F(0,1),且PQ⊥MN,直线PQ、NM中至少有一条存在斜率,不妨设PQ的斜率为k,

    又PQ过点F(0,1),故PQ的方程为y=kx+1.

    将此式代入椭圆方程得(2+k²)x²+2kx-1=0.

    设P、Q两点的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂),则x₁=,x₂=.

    从而|PQ|²=(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²=,

    亦即|PQ|=.

(ⅰ)当k≠0时,MN的斜率为-,同上可推得

|MN|=.

    故四边形PMQN的面积

S=|PQ|·|MN|

=.

    令u=k²+,得

S==2(1-).

    因为u=k²+≥2,

    当k=±1时,u=2,S=,

    且S是以u为自变量的增函数,

    所以≤S＜2.

(ⅱ)当k=0时,MN为椭圆长轴,|MN|=2,|PQ|=,S=|PQ|·|MN|=2.

    综合(ⅰ)(ⅱ)知,四边形PMQN面积的最大值为2,最小值为.