Question

函数f(x)=lg

x2

x2+1

的值域为

（-∞，0）

．

Answer 1

分析：根据分式函数的值域求法，得到真数

x2

x2+1

∈（0，1），再结合底数为10的对数函数的单调性，可得原函数的值域．

解答：解：首先函数的定义域为{x|x≠0}
∵x²+1＞1，可得

1

x2+1

∈（0，1），且

x2

x2+1

=1-

1

x2+1

，
∴0＜

x2

x2+1

＜1
又∵10＞1，函数y=lgx是增函数
∴lg

x2

x2+1

＜lg1=0，可得函数f(x)=lg

x2

x2+1

的值域为（-∞，0）
故答案为：（-∞，0）

点评：本题给出一个基本初等函数，叫我们求它的值域，着重考查了分式函数的值域求法和对数函数的单调性与值域等知识，属于基础题．