Question

函数f（x）=

cos2x

sinx+cosx

+2sinx．
（Ⅰ）求f（

π

4

）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把

π

4

代入函数解析式可求；
（Ⅱ）化简得f（x）

2

sin(x+

π

4

)，利用周期公式可求最小正周期，令x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z可求对称轴方程；

解答：解：（Ⅰ）f（

π

4

）=

cos π 2

sin π 4 +cos π 4

+2sin

π

4

=

0

2 2 + 2 2

+

2

=

2

；
（Ⅱ）由sinx+cosx≠0得x≠kπ-

π

4

（k∈Z）．
∵f（x）=

cos2x

sinx+cosx

+2sinx
=

cos2x-sin2x

sinx+cosx

+2sinx
=cosx+sinx
=

2

sin(x+

π

4

)，
∴f（x）的最小正周期T=2π．
∵函数y=sinx的对称轴为x=kπ+

π

2

，k∈Z，
又由x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，得x=kπ+

π

4

，k∈Z，
f（x）的对称轴的方程为x=kπ+

π

4

，k∈Z．

点评：本题考查三角函数求值、三角函数周期性对称性，属中档题，熟记相关公式是解决问题的关键．