Question

已知函数f（x）对任意的实数x，y都有：f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）是R上的增函数；
（2）若关于x的不等式f（x²-ax+5a）＜2的解集是{x|-3＜x＜2}，求f（2010）的值．

Answer 1

（1）证明：设-∞＜x₁＜x₂＜+∞，则x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞1
∴f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₁）+f（x₂-x₁）-1＞f（x₁）
∴f（x）是R上的增函数．
（2）解：设f（b）=2，则f（x²-ax+5a）＜f（b）
?x²-ax+5a-b＜0?-3＜x＜2
∴
∴f（1）=2．
在f（x+y）=f（x）+f（y）-1中，令x=n，y=1得f（n+1）=f（n）+f（1）-1
∴f（n+1）-f（n）=1．
∴数列{f（n）}是首项为2，公差为1的等差数列．
∴f（n）=2+（n-1）×1=n+1
∴f（2010）=2011．
分析：（1）根据单调性的定义进行证明，设-∞＜x₁＜x₂＜+∞，则x₂-x₁＞0，然后根据题目条件判定f（x₂）与f（x₁）的大小，从而证得单调性；
（2）设f（b）=2，则f（x²-ax+5a）＜f（b）根据单调性可知x²-ax+5a-b＜0，然后根据不等式f（x²-ax+5a）＜2的解集是{x|-3＜x＜2}，求出a、b的值，得到f（1）=2，在f（x+y）=f（x）+f（y）-1中，令x=n，y=1得f（n+1）-f（n）=1，即数列{f（n）}是首项为2，公差为1的等差数列，求出f（n）的通项公式，从而求出所求．
点评：本题主要考查了抽象函数的单调性，以及等差数列的通项公式，同时考查了赋值法的应用和计算能力，属于中档题．