Question

已知函数f（x）=1-

4

2ax+a

（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域；
（Ⅲ）当x∈[1，+∞）时，tf（x）≤2^x-2恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）是奇函数，依定义f（-x）=-f（x），即

2a-x+a-4

2a-x+a

=-

2ax+a-4

2ax+a

，变形为（a-2）[2a^2x+（a-2）a^x+2]=0对任意x恒成立，a=2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=1-

4

2•2x+2

=1-

2

2x+1

，利用函数性质求出值域．
（Ⅲ）当x∈[1，+∞）时，tf（x）≤2^x-2恒成立，得出t≤

(2x-2)•(2x+1)

2x-1

（x≥1）恒成立，只需t小于等于设u(x)=

(2x-2)•(2x+1)

2x-1

=2x-

2

2x-1

(x≥1)的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数
∴f（-x）=-f（x）
又f(x)=

2ax+a-4

2ax+a

∴

2a-x+a-4

2a-x+a

=-

2ax+a-4

2ax+a

，
即（a-2）[2a^2x+（a-2）a^x+2]=0对任意x恒成立，
∴a=2              …（4分）
（Ⅱ）∵y=1-

4

2•2x+2

=1-

2

2x+1

又∵2^x＞0，∴2^x+1＞1
∴0＜

2

2x+1

＜2，-1＜1-

2

2x+1

＜1
∴函数f（x）的值域（-1，1）…（7分）
（Ⅲ）由题意得，当x≥1时，t(1-

2

2x+1

)≤2x-2
即t•

2x-1

2x+1

≤2x-2恒成立，
∵x≥1，∴2^x≥2，
∴t≤

(2x-2)•(2x+1)

2x-1

（x≥1）恒成立，…（9分）
设u(x)=

(2x-2)•(2x+1)

2x-1

=2x-

2

2x-1

(x≥1)
下证u（x）在当x≥1时是增函数．
任取x₂＞x₁≥1，则u(x2)-u(x1)=2x2-

2

2x2-1

-2x1+

2

2x1-1

=(2x2-2x1)•(1+

2

(2x1-1)•(2x2-1)

)＞0…（11分）
∴当x≥1时，u（x）是增函数，
∴u（x）_min=u（1）=0
∴t≤u（x）_min=u（1）=0
∴实数t的取值范围为t≤0．…（13分）

点评：本题考查函数的奇偶性，单调性，不等式恒成立含参数的取值范围．考查转化计算、推理论证，参数分离的方法与能力．