Question

如图,在三棱锥P—ABC中,PA=PB=PC,BC=2a,AC=a,AB=3a,点P到平面ABC的距离为a.

(1)求二面角PACB的大小;

(2)求点B到平面PAC的距离.

Answer 1

(1)解法一:如图,由条件知△ABC为直角三角形,∠BAC=90°,因为PA=PB=PC,所以点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心,即斜边BC的中点E,取AC中点D,连PD、DE、PE.

    因为PE⊥平面ABC,DE⊥AC(因为DE∥AB),所以∠PDE是二面角P-AC-B的平面角.

    tan∠PDE===,

    所以∠PDE=60°,故二面角P-AC-B的大小为60°.

    解法二:设O为BC中点,则可证明PO⊥面ABC.

    建立如图所示的空间直角坐标系,则A(a,-a,0),B(-a,0,0),C(a,0,0),P(0,0,a),AC中点D(a,-a,0).

    =(-a,a,0),=(-a,a,a).

    因为AB⊥AC,PA=PC,所以PD⊥AC.

    所以cos〈,〉即为二面角P-AC-B的余弦值.

    因为cos〈,〉==.

    所以二面角PACB的大小为60°.

    (2)解法一:PD===a,

    所以S_△APC=·AC·PD=a².

    设点B到平面PAC的距离为h,

    则由V_P—ABC=V_B—APC,得S_△ABC·PE=·S_△APC·h.

    所以h=

    ==a.

   故点B到平面PAC的距离为a.

    解法二:点E到平面PAC的距离容易求得,为a,而点B到平面PAC的距离是其两倍,所以点B到平面PAC的距离为a.