Question

10．设g（x）=e^2x+|e^x-a|，x∈[0，ln3]，其中a≤2$\sqrt{2}$．
（1）当a=1时，函数g（x）是否存在零点，若存在，求出所有零点，若不存在，说明理由．
（2）求函数g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由x∈[0，ln3]，去掉绝对值，利用二次函数的性质解题．
（2）设t=e^x，由x∈[0，ln3]则t∈[1，3]，则m（t）=t²+|t-a|，讨论a，利用函数的单调性分别求出函数的最值即可．

解答 解：（1）∵x∈[0，ln3]，所以e^x≥1，∴g（x）=e^2x+e^x-1，e^x∈[1，3]，
解得：${e}^{x}=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，其中$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}∈[1，3]$
故g（x）有一个零点，为$ln\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．
（2）设t=e^x，由x∈[0，ln3]，知t∈[1，3]，则m（t）=t²+|t-a|
当a≤1时，m（t）=t²+t-a在[1，3]上是增函数，
∴m（t）_min=m（1）=2-a…（8分）
当1＜a≤2时，m（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-t+a}&{1≤t≤a}\\{{t}^{2}+t-a}&{a＜t≤3}\end{array}\right.$
∵m（t）在[a，3]上是增函数，在[1，a]上也是增函数，又m（t）在[1，3]上是连续函数，
∴m（t）在[1，3]上是增函数，
∴m（t）_min=m（1）=a；
综上所述：h（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{2-a}&{a≤1}\\{a}&{1＜a≤2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了利用零点的求法和二次函数的最值的求法，属于中档题．