Question

如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别是CC₁、B₁C₁、D₁C₁的中点．

求证：(1)AP⊥MN．

(2)平面PMN∥平面A₁BD．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 　　则A(1，0，0)，P(0，，1)，M(0，1，)，N(，1，1)， 　　∴＝(－1，，1)，＝(，0，)． 　　∴·＝(－1，，1)·(，0，)＝0． 　　∴AP⊥MN． 　　(2)方法一：∵＝(1，0，1)，＝(，0，)， 　　∴∥，即MN∥DA1． 　　又∵＝(，，0)，＝(1，1，0)， 　　∴∥，即PN∥DB． 　　又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD． 　　方法二：设平面PMN、平面A1BD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)． 　　则 　　∴ 　　令z1＝1，z2＝1， 　　则n1＝(－1，1，1)，n2＝(－1，1，1)． 　　∴n1∥n2．∴平面PMN∥平面A1BD．

提示：

判定直线、平面间的位置关系既可以用常规法来证明，也可以用向量方法来证明，本题给出的几何载体为正方体，常用构建空间直角坐标系的方法解题．