Question

设g（x）=2x+

m

x

，x∈[

1

4

，4]．
（1）若m=1，求g（x）的单调区间（简单说明理由，不必严格证明）；
（2 ）若m=1，证明g（x）的最小值为g（

2

2

）；
（3）若g1(x)=

2x+ 2 x ，x∈[ 1 4 ，1] 4，x∈[1，4]

，g₂（x）=

17

2

，不等式|g₁（x）-g₂（x）|≥p恒成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据y=ax+

b

x

（a＞0，b＞0，x＜0）单调区间及奇函数关于原点对称的区间上单调性一致即可求出g（x）的单调区间；
（2）由（1）g（x）的单调性即可证明；
（3）根据g（x）的单调性可表示出g₁（x），g₂（x），进而表示出|g₁（x）-g₂（x）|，不等式|g₁（x）-g₂（x）|≥p恒成立等价于不等式|g₁（x）-g₂（x）|_min≥p，其最小值易求，从而问题得以解决．

解答：解：（1）∵g（x）=2x+

1

x

为奇函数．奇函数在对称区间上单调性相同，
g（x）在x∈[

1

4

，

2

2

]上递减，g（x）在x∈[

2

2

，4]上递增；
（2）用最值的定义证明：
g（x）在x∈[

1

4

，

2

2

]上递减，对任意x∈[

1

4

，

2

2

]，
都有g（

1

4

）≥g（x）≥g（

2

2

），
g（x）在x∈[

2

2

，4]上递增，对任意x∈[

2

2

，4]，都有g（4）≥g（x）≥g（

2

2

），
综上，g（x）的最小值为g（

2

2

）．
（3）g1(x)=

2x+ 2 x ，x∈[ 1 4 ，1] 4，x∈[1，4]

，g₂（x）=

17

2

，
|g₁（x）-g₂（x）|=

| 17 2 -2x- 2 x |，x∈[ 1 4 ，1) 9 2 ，x∈[1，4]

，
|g₁（x）-g₂（x）|的最小值为0，
所以p≤0，即实数p的范围是（-∞，0]．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查不等式恒成立问题，考查学生分析问题解决问题的能力．