Question

（13分）、如图, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，点D是AB的中点，

  （1）求证：AC⊥BC₁；

  （2）求证：AC ₁//平面CDB₁；

  （3）求异面直线 AC₁与 B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

（1）直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC₁；

（2）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC₁的中点，∴ DE//AC₁，

∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，∴ AC₁//平面CDB₁；

（3）∵ DE//AC₁，∴ ∠CED为AC₁与B₁C所成的角，

在△CED中，ED=AC ₁=，CD=AB=，CE=CB₁=2，∴ ，

∴ 异面直线 AC₁与 B₁C所成角的余弦值.