Question

12．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，那么△ABC面积是△OBD面积的（　　）倍．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 根据题意与平面向量的加法法则，得出$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=-2$\overrightarrow{OA}$，再根据D为BC边中点得出$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OD}$，从而得出O是AD的中点，结合图形求出△ABC面积是△OBD面积的4倍．

解答 解：O是△ABC所在平面内一点，且2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=-2$\overrightarrow{OA}$，
又D为BC边中点，
∴$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OD}$，
∴$\overrightarrow{OA}$=-$\overrightarrow{OD}$，∴O是AD的中点，如图所示；

∴S_△ABC=2S_△OBC=4S_△OBD，
即△ABC面积是△OBD面积的4倍．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量加法法则的应用问题，也考查了三角形一边上中点应用问题，是中档题．