Question

已知函数f(x)＝－x²＋2x＋3．

(1)画出f(x)的图像；

(2)根据图像写出函数f(x)的单调区间；

(3)利用定义证明函数f(x)＝－x²＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数；

(4)当函数f(x)在区间(－∞，m]上是增函数时，求实数m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像如下图所示． 　　(2)由函数f(x)的图像，得在直线x＝1的左侧图像是上升的，在直线x＝1的右侧图像是下降的，故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，1]，单调递减区间是(1，＋∞)． 　　(3)设x1、x2∈(－∞，1]，且x1＜x2，则有 　　f(x1)－f(x2)＝(－x12＋2x1＋3)－(－x22＋2x2＋3) 　　＝(x22－x12)＋2(x1－x2) 　　＝(x1－x2)(2－x1－x2)． 　　∵x1、x2∈(－∞，1]，且x1＜x2， 　　∴x1－x2＜0，x1＋x2＜2． 　　∴2－x1－x2＞0． 　　∴f(x1)－f(x2)＜0． 　　∴f(x1)＜f(x2)． 　　∴函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数． 　　(4)函数f(x)＝－x2＋2x＋3的对称轴是直线x＝1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(－∞，m]位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值范围是(－∞，1]．

提示：

思路分析：本题主要考查二次函数的图像、函数的单调性及其综合应用．(1)画二次函数的图像时，重点确定开口方向和对称轴的位置；(2)根据单调性的几何意义，写出单调区间；(3)证明函数的增减性，先在区间上取x1＜x2，然后作差f(x1)－f(x2)，判断这个差的符号即可；(4)讨论对称轴和区间[m，＋∞)的相对位置． 　　绿色通道：讨论二次函数的单调性时，要结合二次函数的图像，通过确定对称轴和单调区间的相对位置来解决．