Question

12．已知关于x的不等式$\frac{lo{g}_{a}x}{lnx}$-$\frac{4}{lnx}$＜lnx（a＞0且a≠1）对任意的x∈（1，100）恒成立，则实数a的取值范围为（0，1）∪（${e}^{\frac{1}{4}}$，+∞）．

Answer 1

分析 问题转化为$\frac{1}{lna}$＜lnx+$\frac{4}{lnx}$，x∈（1，100），令h（x）=lnx+$\frac{4}{lnx}$，x∈（1，100），求出h（x）的值域，从而求出a的范围即可．

解答 解：∵$\frac{lo{g}_{a}x}{lnx}$-$\frac{4}{lnx}$＜lnx，
∴$\frac{1}{lna}$＜lnx+$\frac{4}{lnx}$，x∈（1，100），
令h（x）=lnx+$\frac{4}{lnx}$，x∈（1，100），
则lnx＞0，
故h（x）≥2$\sqrt{lnx•\frac{4}{lnx}}$=4，
当且仅当lnx=2时“=”成立，
而h（100）=2ln10+$\frac{2}{ln10}$，
而x→1时，lnx→0，h（x）→+∞，
故h（x）∈[4，+∞），
故$\frac{1}{lna}$＜4，
0＜a＜1时，lna＜0，成立，
a＞1时，lna＞0，
只需lna＞$\frac{1}{4}$，即a＞${e}^{\frac{1}{4}}$即可，
综上：a∈（0，1）∪（${e}^{\frac{1}{4}}$，+∞），
故答案为：（0，1）∪（${e}^{\frac{1}{4}}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查不等式的性质，是一道中档题．