Question

已知函数f(x)＝ax³＋x²－ax，其中a，x∈R．

(Ⅰ)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间；

(Ⅱ)若函数f(x)在区间(1，2)上不是单调函数，求实数a的取值范围；

(Ⅲ)若x∈[0，3]时，函数f(x)在x＝0处取得最小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)当时，．， 　　由得， 　　即当时，函数f(x)的单调递减区间为．　3分 　　(Ⅱ)解法一： 　　依题意知方程在区间(1，2)内有不重复的零点，　5分 　　而，由得 　　∵x∈(1，2)，∴，∴； 　　令(x∈(1，2))，则， 　　∴在区间(1，2)上是单调递增函数，其值域为， 　　故a的取值范围是．　8分 　　解法二： 　　依题意知方程即在区间(1，2)内有不重复的零点， 　　当a＝0时，得x＝0，但0(1，2)； 　　当a≠0时，方程的△＝4＋12a2＞0，，必有两异号根， 　　欲使f(x)在区间(1，2)上不是单调函数，方程在(1，2)内一定有一根，设，则F(1)·F(2)＜0， 　　即(2a＋2)(11a＋4)＜0，解得， 　　故a的取值范围是．(解法二得分标准类比解法一) 　　(Ⅲ)由题可知当[0，3]时，即恒成立， 　　又[0，3]，则恒成立．　9分 　　记 　　当时，在[0，3]时恒成立，符合题意； 　　当时，由于，则不符合题意； 　　当时，由于，则只需，得， 　　即．　12分 　　综上，．　13分