Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，a_n+2a_na_n-1-a_n-1=0
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

an

2n+1

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知条件可知a_n≠0，原式可变形为

1

an

-

1

an-1

=2，由等差数列的定义可判断{

1

an

}为等差数列，从而可求得

1

an

，进而可得a_n；
（2）先由（1）求得b_n，然后利用裂项相消法可求得S_n；

解答：解：（1）由a_n+2a_na_n-1-a_n-1=0及a₁=1知a_n≠0，从而可得

1

an

-

1

an-1

=2且

1

a1

=1．
故{

1

an

}为以1为首项，公差为2的等差数列．
从而

1

an

=

1

a1

+(n-1)•2，
∴an=

1

2n-1

；
（2）∵bn=

an

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

点评：本题考查利用数列递推式求数列通项公式、裂项相消法对数列求和，考查学生的运算求解能力．