Question

若a³+b³=2,求证:a+b≤2.

Answer 1

思路分析：本题结论的反面比原结论更具体,更简洁,宜用反证法.

证法一：假设a+b＞2,a²-ab+b²=(ab)²+b²≥0.

而取等号的条件为a=b=0，显然不可能，∴a²-ab+b²＞0.则a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)＞2(a²-ab+b²),而a³+b³=2,故a²-ab+b²＜1.

∴1+ab＞a²+b²≥2ab.从而ab＜1.

∴a²+b²＜1+ab＜2.

∴(a+b)²=a²+b²+2ab＜2+2ab＜4.

∴a+b＜2.

    这与假设矛盾,故a+b≤2.

证法二:假设a+b＞2,则a＞2-b,故2=a³+b³＞(2-b)³+b³,即2＞8-12b+6b²,即(b-1)²＜0,这不可能,从而a+b≤2.

证法三:假设a+b＞2,则(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)＞8.

由a³+b³=2,得3ab(a+b)＞6.故ab(a+b)＞2.

又a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)=2,

∴ab(a+b)＞(a+b)(a²-ab+b²).

∴a²-ab+b²＜ab,即(a-b)²＜0.

这不可能，故a+b≤2.