Question

在如图所示的空间几何体中，△ABC，△ACD都是等边三角形，AE=CE，DE//平面ABC，平面ACD⊥平面ABC。

（1）求证：DE⊥平面ACD；
（2）若AB=BE=2，求多面体ABCDE的体积。

Answer 1

（1）证明：△ABC，△ACD都是等边三角形， AE=CE， 取AC中点O，连接BO，DO，EO， 则BO⊥AC，DO⊥AC，EO⊥AC， ∵EOBO=O， ∴AC⊥平面OBF， 作EF⊥BO于点F，则AC⊥EF， ∵ACBO=O， ∴EF⊥平面ABC， ∵平面ACD⊥平面ABC， ∴DO⊥平面ABC，BO⊥平面ACD， ∴DO∥EF， ∴ODEF是平面四边形， ∵DE∥平面ABC， ∴OE∥OF，即DE∥OB， ∴DE⊥平面ACD。
（2）解：由EF//DO，DE//OF，知DE=OF，EF=DO， 又AB=BE=2，△ABC，△ACD都是等边三角形，EF⊥BO， ∴， ∵DE⊥平面ACD， ∴三棱锥E-DAC的体积， 又三棱锥E-ABC的体积， ∴多面体ABCDE的体积为。