如图,某纸箱厂用矩形硬纸板(PQST)割去四个矩形角,设计为按虚线折叠成的长方体纸箱.其中矩形ABCD为长方体的下底面,两全等矩形EFNM、HGNM拼成长方体纸箱盖,设纸箱长AB为x.
(Ⅰ)若长方体纸箱的长、宽、高分别为80cm、50cm、40cm、则硬纸板PQST的长、宽应为多大?
(Ⅱ)若硬纸板PQST的长PT=240cm,宽TS=150cm,按此设计,当纸箱的长AB为何值时,纸箱体积最大?并计算最大体积.
(Ⅰ)由题意:PQ=AB+2H1A=80+2×40=160(cm),
PT=AD+2AH+2HM=2AD+2AH=2×50+2×40=180(cm). …………………………4分
(Ⅱ)∵PT=240,PQ=150,AB为x(0<x<150),
∴AH=AH1=(TS-AB)=(150-x).
∵AD= M1H+EM,AH=DE,
∴AD=(MM1-2AH)=(PT-2AH)=[240-(150-x)]=45+x, ……………7分
∴纸箱体积V(x)= x(150-x)(45+x)=- x3+15 x2+3375x. …………………8分
V′(x)=- x2+30 x+3375.
令V′(x)=0,x2-40x-4500=0,解得:x1=90,x2=-50(不合题意,舍去).………10分
当x∈(0,90)时,V′(x)>0,V(x)是增函数;
当x∈(90,150)时,V′(x)<0,V(x)是减函数,
∴当x=90时,V(x)取到极大值V(90)=243000. …………………12分
∵V(x)在(0,150)上只有一个极值,所以它是最大值.
∴当纸箱的长AB=90时,纸箱体积最大,最大体积为243000(cm3).………………14分
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