Question

在数列{a_n}和{b_n}中，a₁=1，b₁=2，且a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列（n∈N*），
（1）求a₂，a₃，a₄和b₂，b₃，b₄；
（2）猜想{a_n}，{b_n}的通项公式，并证明你的结论；
（3）求证：（n∈N*）。

Answer 1

解：（1）；
（2）猜想：；
用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，结论显然成立；
（ⅱ）假设n=k时结论成立，即，
当n=k+1时，，
，
所以当n=k+1时，结论也成立；
综合（ⅰ）（ⅱ）对任意n∈N*，都成立；
（3）欲证，
即证，
下面用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，左=，不等式显然成立；
（ⅱ）假设n=k时结论成立，即，
当n=k+1时，，
而，
所以，
即，
则n=k+1时不等式也成立；
综合（ⅰ）（ⅱ）对任意n∈N*，都有，
亦即。