Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为    ．

Answer 1

【答案】分析：由“”的结构特征，联想到在△PF₁F₂中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex）=c（a-ex）解出x，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．
解答：解：在△PF₁F₂中，
由正弦定理得：
则由已知得：，
即：a|PF₁|=c|PF₂|
设点（x，y）由焦点半径公式，
得：|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex
则a（a+ex）=c（a-ex）
解得：
由椭圆的几何性质知：x＞-a则，
整理得e²+2e-1＞0，解得：或，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：，
故答案为：．
点评：本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．