Question

某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克）与时间t(小时）之间近似满足如下图所示的曲线.

（1）写出服药后,y与t之间的函数关系式y=f(t).

（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.

①求服药一次治疗疾病有效的时间？

②当t=5时，第二次服药，问t∈［5，5］时，药效是否连续？

Answer 1

解：（1）当0≤t≤1时，y=4t.

当t≥1时，y=()^t-a,此时m(1,4)在曲线上，

∴4=()^1-a∴a=3.

∴y=()^t-3.

所以y=f(t)=

（2）①∵f(t)≥0.25即

解得，

∴≤t≤5.

∴服药一次治疗疾病有效的时间为5-=4小时.

②设t∈［5,5］,5小时第二次服药后，血液中含药量g(t)为：第二次产生的含药量4(t-5)毫克以及第一次的剩余量()^t-3毫克，即g(t)=4(t-5)+()^t-3,只要证明，当t∈［5,5］时，g(t)≥0.25即可.

∵g′(t)=4+()^t-3ln=4-()^t-3ln2，

∴g′(t)在R上是增函数.

∴g′(t)在［5,5］上有g′(t)≥g′(5)=4-()²ln2＞0.

∴g(t)在［5,5］上是增函数，故g(t)≥g(5)=0.25.

∴当t=5时，第二次服药，t∈［5,5］时，药效连续.