Question

向量

e1

，

e2

是单位向量，则|

e1

+

e2

|+|

e1

-

e2

|的取值范围是

[2，2

2

]

．

Answer 1

分析：设

e1

和

e2

的夹角为θ，θ∈[0，π]，由模长公式可化简式子为2cos

θ

2

+2sin

θ

2

，由三角函数的辅助角公式可求解其范围．

解答：解：由题意可设

e1

和

e2

的夹角为θ，θ∈[0，π]
故|

e1

+

e2

|+|

e1

-

e2

|=

e1 2+ e2 2+2 e1 • e2

+

e1 2+ e2 2-2 e1 • e2

=

2+2cosθ

+

2-2cosθ

=

4cos2 θ 2

+

4sin2 θ 2

=2|cos

θ

2

|+2|sin

θ

2

|，又θ∈[0，π]，故

θ

2

∈[0，

π

2

]，即cos

θ

2

＞0，sin

θ

2

≥0，
可得上式为：2cos

θ

2

+2sin

θ

2

=2

2

sin（

θ

2

+

π

4

），由与

θ

2

+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
故sin（

θ

2

+

π

4

）∈[

2

2

，1]，所以2

2

sin（

θ

2

+

π

4

）∈[2，2

2

]，
故答案为：[2，2

2

]

点评：本题考查向量的模长公式和三角函数的辅助角公式，属基础题．