Question

讨论函数f(x)＝的单调性，并求其值域．

Answer 1

答案：
解析：

　　解法1：∵函数f(x)的定义域(－∞，＋∞)，设x₁，x₂∈(－∞，＋∞)且有x₁＜x₂．

　　∴f(x₂)＝，．

　　．

　　(1)当x₁＜x₂≤1时，x₁＋x₂＜2即有x₁＋x₂－2＜0．

　　又∵x₂－x₁＞0，∴(x₂－x₁)(x₂＋x₁－2)＜0，则知＞1，又对于x∈R，f(x)＞0恒成立．

　　∴f(x₂)＞f(x₁)．所以，函数f(x)在(－∞，1]上单调递增．

　　(2)当1≥x₁＜x₂时，x₁＋x₂＞2即有x₁＋x₂－2＞0．

　　又∵x₂－x₁＞0，∴(x₂－x₁)(x₂＋x₁－2)＞0，则知

　　所以，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增．

　　综上，函数f(x)在区间(－∞，1]上是增函数；在区间[1，＋∞)上是减函数．

　　∵x²－2x＝(x－1)²－1≥－1，，．

　　所以，函数f(x)的值域为(0，3]

　　

　　思想方法小结：(1)在只有一个中间函数的复合函数中，若原函数与中间函数单调性相同，则复合函数为增函数；若原函数与中间函数单调性相异，则复合函数为减函数．(2)利用函数的单调性来求它的值域，也是求函数值域的一种方法．

提示：

　　思路分析1：对于x∈R，＞0恒成立，因此可以通过作商讨论函数f(x)的单调区间．

　　思路分析2：此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以通过逐层讨论它的单调性，综合得到结果．