Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图2）。

（Ⅰ）当x=2时，求证：BD⊥EG；
（Ⅱ）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；
（Ⅲ）当f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵平面AEFD⊥平面EBCF，又EF∥AD，∠AEF=， ∴AE⊥EF，∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE， 又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E-xyz， ∵EA=2，∴EB=2， 又∵G为BC的中点，BC=4， ∴BG=2，则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0）， D（0，2，2），E（0，0，0）， （-2，2，2），（2，2，0）， （-2，2，2）?（2，2，0）=0， ∴BD⊥EG。
（Ⅱ）∵AD∥面BFC， 所以 ， 即x=2时，f（x）有最大值。
（Ⅲ）设平面DBF的法向量为， ∵AE=2， B（2，0，0），D（0，2，2）， F（0，3，0）， ∴（-2，2，2）， 则， 即，， 取x=3，y=2，z=1，∴， ∵AE⊥面BCF，∴面BCF一个法向量为， 则， 由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角， 所以此二面角的余弦值为-。